Teoria dos conjuntos: Exercícios 2.

1. Escrever os axiomas para uma ordem parcial e uma ordem total usando ≤ em vez de <, e mostre a equivalençia com os axiomas exprimidos usando <.

2. Mostre que se Y ⊆ X e < é uma relação bem-fundada sobre X, então a restrição de < para Y é também bem-fundada.

3. Mostre que se <_{0} é bem-fundado sobre X_{0} e <_{1} é bem-fundado sobre X_{1}, então <_{0} × <_{1} é bem-fundado sobre X_{0} × X_{1}, onde (a_{0}, a_{1})(<_{0} × <_{1})(b_{0}, b_{1}) se e só se a_{0} <_{0} b_{0} e a_{1} <_{1} b_{1}. Mostre que se <_{0} e <_{1} são bem-ordens, então <_{0} × <_{1} é uma bem-ordem também.

4. Suponhamos que < é uma bem-ordem sobre X. Construir de < uma bem-ordem sobre P_{<ω}(X) – o conjunto do todos os subconjuntos finitos de X.

5. (Uma olhada de “teoria de conjuntos descritivo.”) Vamos escrever ^{<ω}ω para ⋃{^{n}ω | n ∈ ω }, o conjunto de todos seqüências finitos dos números naturais. Defina < para u < v se e só se v é uma subseqüência inicial própria de u. (Nota a direção disso!)

(i) Mostre que f : ^{ω}ω ⟶ ω é continuo (com referência para a topologia produto sobre ^{ω}ω que vem de a topologia discreta sobre ω) se e só se < é uma relaçao bem-fundada sobre o conjunto {u ∈ ^{<ω}ω | f não é constante sobre {g ∈ ^{<ω}ω | g prolonga a seqüência u}}.

(ii) Seja T ⊆ ^{<ω}ω tal que u ∈ T e u < v implica v ∈ T. (Falamos que T é uma árvore.) Escreva u_{i} para i^{o}-membro de u, e defina uma relação ≺ sobre T por: u ≺ v se e só se ou u < v, ou existe um i mínimo com u_{i} ≠ v_{i}, e u_{i} < v_{i} para este i (na ordem usual sobre ω). Mostre que < é uma relação bem-fundada sobre T se e só se ≺ é uma bem-ordem de T.

6. Se X ⊆ On é um conjunto mostre que ou ⋃ X ∈ X ou ⋃ X = ⋂{α | ∀β ∈ X β < α}.

7. Ache um subconjunto de R (com a ordem usual) que é isomorfico para ω + ω. (Se você fez pergunta (5): ache T ⊆^{ω} ω tal que existe um isomorfismo entre (T, ≺) e ω + ω que preserva a ordem.)

8. Defina ordens lineares sobre ω que são isomorficas sob isomorfismos que preservão as ordens com:

(i) ω^{2},  (ii) ω^{ω},  (iii) Q com a ordem usual.

9. Mostre que α + β = α′ + β′ e β′ > β implica α′ < α, mas o inverso e falso.

10. Quando é α + β um ordinal do tipo limite? E α.β?

11. Sejam α, β ∈ {1, ω, ω.ω }. Quantos possibilidades são para (i) α + β, (ii) α × β?

12. Mostre que sejam α, β ∈ On, então αβ = βα se e só se α^{2}β^{2} = β^{2}α^{2}.

13. Seja α ∈ On. Mostre que existe k < ω e ordinais γ_{0}, …,γ_{k} e nmeros naturais n_{0}, …,n_{k} tal que α = ω^{γ_{k}}.n_{k} + … + ω^{γ_{0}}.n_{0}. (Uma pista: começe para mostrando que α = ω^{β} + δ para alguma ordinal β e alguma δ < ω^{β} e depois analise δ.)

14. Suponhamos que f : On ⟶ On é aumentando estritomente (∀α < β f(α) < f(β)) e contínuo nos limites (seja λ um ordinal do tipo limite, então f(λ) = ⋃{f(α) | α < λ}). Mostre que existe um ζ ∈ On tal que f(ζ) = ζ. Mostre que a função f definida para f(α) = α^{ω} é aumentanda estritomente e contínua nos limites. Qual ordinal é o primeiro tal que f(ζ) = ζ?