Teoria dos conjuntos: Exercícios 1.

1. Escrever uma demonstração do axioma de extensão que o conjunto vazio (se existe) é único. Um ponto estúpido? Suponha que (X, τ) e (Y, σ) são espaços topológicos. Mostre que τ ∩ σ ≠ ∅. Isso é matemática?

2. É a união de uma coleção de conjuntos não vazios também não vazia? É a intersecção de uma coleção de conjuntos não vazios também um conjunto? Deduza do axioma de compreensão que a intersecção de uma classe não vazia de conjuntos é um conjunto.

3. Mostre que o axioma de compreensão com o axioma de infinidade implica que o conjunto vazio existe.

4. Mostre que se ⋃ x ⊆ x, então ⋃(⋃ x) ⊆ x. É o inverso verdadeiro? Mostre que as três fórmulas

seguintes são equivalentes: (i) x ⊆ P(x),  (ii) ⋃ x ⊆ x,  (iii) x = ⋃{y ∪ {y } | y ∈ x}.

5. Quantos membros tem cada V_{n} por n finito? Mostre que V_{ω} é enumerável. Mostre que a função x ⟶ #x, onde #x é definida por indução por “#x é o número que na expansão binária de qual os 1s ocorrem nos lugares i exatamente por estes i que são iguais para #y por alguma y ∈ x” é uma bijeção entre V_{ω} e N.

6. Se x é um conjunto (puro) existe um primeiro lugar α onde x ∈ V_{α} e existe um primeiro lugar β tal que x ⊆ V_{β}. Qual é a relação entre α e β?

7. Seja x um conjunto, e sejam α o primeiro lugar tal que ⋃{P(y) | y ∈ x} ∈ V_{α} e β o primeiro lugar onde P(⋃ x) ∈ V_{β}. Qual é a relação entre α e β?

8. Existe um conjunto x com x ∈ x? Existe uma seqüência de conjuntos … x_{3} ∈ x_{2} ∈ x_{1} ∈ x_{0}?

9. Um conjunto que satisfaz as condições (i)-(iii) de (4) é chamado transitivo. Suponha que x = {x}. (Não considere se tem tal coisas!) É x transitivo?

10. Escrever uma demonstração, usando indução, mostrando que cada V_{α} é transitivo. (Que acontece nos passos limites?)

11. Considere o princípio que cada conjunto pertence a um conjunto transitivo. (Por que isso é implicado pela hierarquia de V_{α}s?)

(i) Mostre que este princípio e a axioma de compreensão implicam o axioma des uniões. (ii) Mostre que este princípio, o axioma de compreensão e o axioma de fundação implicam o princípio de indução no ∈. (O axioma de fundação fala: ∀x(x ≠ ∅ ⟶ ∃y ∈ x (y ∩ x = ∅)).)

12. Sejam todos os membros de x transitivos, mostre que ∈ é uma relação transitiva no x.

13. Mostre que o axioma de pares poderia ser substituido em ZF pelo princípio que para cada conjunto x e cada conjunto y existe um conjunto x ∪ {y }.

14. Mostre que o princípio de reposição, o axioma de conjunto vazio e o axioma de conjuntos de potência mostram o axioma de pares.