Teoria dos conjuntos

Charles Morgan*

Capítulo 4. Aritmética dos cardinais.

4.1. Noções basicos sobre cardinais.

Somos habitudos comparar o tamanho dos conjuntos pelo vindo se tem uma injeção de um para o outro, ou um bijeção entre os dois.

Definição. Sejam x, y conjuntos. Defina x ∼ y se existe f : x ⟶ y tal que f é uma bijeção. Seja x ⪯ y se existe uma injeção (uma immersão) do x para y (i.e. uma função f tal que para todos z_{0}, z_{1} ∈ x temos que f(z_{0}) = f(z_{1}) ⟹ z_{0} = a_{1}). E seja x ⪯^{∗} y ou se x = ∅ ou se existe uma sobrejeção do y para x (i.e. uma função g tal que para todos z ∈ x existe u ∈ y tal que g(u) = z).

Nossos dois lemas primeiros são claros.

Lema. Se x ⪯ y, então x ⪯^{∗} y

Demonstração. Se x = ∅ tem nada mostrar. Senão seja f : x ⟶ y uma injeção e seja u qualquer elemento arbitrário do x. Logo, se definimos g : y ⟶ x pelo g(z) = f^{−1}(z) se z ∈ im(f), e g(z) = u é senão, é claro que g é uma sobrejeção.

Lema. O axioma de escolha implica que se x ⪯^{∗} y, então x ⪯ y.

Demontração. Se g : y ⟶ x é uma sobrejeção, seja s_{v} = {u ∈ y | g(u) = v } para todos v ∈ x e seja z = {s_{v} | v ∈ x}. Aplicamos o axioma de escolha para z. Esse dá para nós uma função f : z ⟶ ⋃ z, = y, tal que f(s_{v}) ∈ s_{v} para todos s_{v} ∈ z. Logo a função h : x ⟶ y definida pelo h(v) = f(s_{v}) é uma injeção, porque se temos v_{0}, v_{1} ∈ x e h(v_{0}) = h(v_{1}), então v_{0} = g(h(v_{0})) = g(h(v_{1})) = v_{1}.

Nota. Precisamos do axioma de escolha para establecer este fato. Porém, a teorema seguinte não usa o axioma de escolha.

Teorema. (Schröder-Bernstein) Se x ⪯ y e y ⪯ x, então x ∼ y.

Demonstração. Suponhamos que i : x ⟶ y e j : y ⟶ x são injeções. Defina k : P(x) ⟶ P(x) pelo k(a) = (x \ j“y) ∪ j·i“a para cada a ∈ x. É claro que se a ⊆ b ⊆ x, então k(a) ⊆ k(b).

Tome c = ⋃{a ⊆ x | a ⊆ k(a)}. Então c ⊆ ⋃{k(a) | a ⊆ x & a ⊆ k(a)} ⊆ k(c), porque a ⊆ k(a) ⊆ k(c) quando a ⊆ c. Logo k(c) ⊆ k(k(c)). Então k(c) ⊆ c, e c = k(c). (Nota que

* versão 1.0, 3/12/00 até aqui só usamos que k é cresente sobre P(x) e nada mais.)

Defina f : x ⟶ y pelo f(u) = i(u) se u ∈ c, e f(u) = j^{−1}(u) se u ∉ c. Sejam u_{0}, u_{1} ∈ x. Se do dois u_{0}, u_{1} ∈ c é claro que f(u_{0}) = f(u_{1}) implica u_{0} = u_{1}. Similarmente, se u_{0}, u_{1} ∉ c temos que f(u_{0}) = f(u_{1}) implica u_{0} = u_{1} também. E se u_{0} ∈ c e u_{1} ∉ c e f(u_{1}) = v, então v ∉ im(i) e f(u_{0}) ≠ f(u_{1}). Finalmente, se v ∈ y e não existe u ∈ c tal que f(u) = v, então j(v) ∉ c e v = f(j(v)).

Definição. Uma noção de cardinalidade é uma Função, card : V ⟶ V, tal que card(x) = card(y) se e só se x ∼ y.

Mesmo sem o axioma de esolha existe uns tais noções. Vamos usar um, paraqual escrevemos x em vez de card(x):

x = α onde α ∈ On é mínimo tal que existe uma bem-ordem de x bijetivo com α,

se existe tais αs, e

x = V_{α} ∩ {y | y ∼ x} onde α é mínimo tal que existe y ∈ V_{α} com y ∼ x, senão.

Nota. Fazemos este definição caso não tem uma bem-ordem do x porque seria indesejável usar a classe de equivalência do x sob ∼, uma classe própria e portanto difícil usar nossas argumentações, em se mesma.

Com o axioma de escolha o princípio (BO) fala que qualquer conjunto pode ser bem-ordenado, então para qualquer conjunto existe um existe um ordinal com qual tem uma bijeção (cf. §2.6). Logo, com o axioma de escolha a cardinalidade de qualquer conjunto é um ordinal.

Exercício. Mostrar que x ∉ On se não existe uma bem-ordem do x.

Definição. (Para qualquer noção de cardinalidade.) Um conjunto m é um cardinal se existe x ∈ V tal que card(x) = m.

m ≤ n se existe x e y tal que card(x) = m e card(y) = n e x ⪯ y.
m + n = card(x × {0} ∪ y × {1}), onde card(x) = m e card(y) = n.
m . n = card(x × y), onde card(x) = m e card(y) = n.
m^{n} = card(^{y}x), onde card(x) = m e card(y) = n.

Proposição. + é comutativo e associativo; . é comutativo, associativo e distributivo sobre +; e m^{n + k} = m^{n} . m^{k} e (m^{n})^{k} = m^{n . k}.

Demonstração. Todos são imediatos das definições.

Algumas outras conseqüências são mostrável sem o axioma de escolha, mas tipicamente usam ⪯ e/ou ⪯^{∗}.

Exemplo. Se k + r = m . n, então ou m ⪯ k ou n ⪯^{∗} r.

4.2. Lema de Hartog.

Como vimos, com o axioma de escolha vamos medir cardinalidade pelos ordinais, então vale a pena establecer algumas relações entre ordinais e cardinais.

Lema de Hartog. Seja x um conjunto. Então {α ∈ On | α ⪯ x} é um conjunto, e, logo, pertence a On. ({α ∈ On | α ∼ x} é um conjunto também.) Além disso, {α ∈ On | α ⪯ x} ⪯̸ x e o ordinal mínimo com este propriedade.

Demonstração. Seja W = {(y, <) | y ⊆ x & < é uma bem-ordem do y }. Então W é um conjunto (porque é um subconjunto do P(x) × P(x × x)). Como vimos na §2.6, pela teorema de recursão forte e o princípio de reposição, existe uma Função, F, levando bem-ordems para os ordinais. Então F “W = {α ∈ On | α ⪯ x} é um conjunto pelo princípio de reposição.

É claro que {α ∈ On | α ⪯ x} é um segmento inicial do On, porque se β < α ⪯ x enão a composição do função de identidade com a injeção do α para x é uma injeção do β para x. Logo {α ∈ On | α ⪯ x} pertence a On. Seja {α ∈ On | α ⪯ x} = β. Fosse β ⪯ x teríamos que β ∈ β, uma contradição! E é claro que se γ < β temos γ ⪯ x.

De agora vamos sempre usar nossa noção, x, de cardinalidade.

Proposição. (i) Seja κ ∈ On um cardinal. κ = κ. (ii) Seja κ ∈ On um cardinal. ∀α < κ κ ⊀ α. (iii) Sejam α, β ∈ On. Então α ≤ β ≤ α implica que β = α.

Demonstração. (i) Lembrar que falar que κ é um cardinal quer dizer que existe alguma x com uma bem-ordem e κ é mínimo tal que x ∼ κ. Escolha um tal x. κ ∼ κ e se α < κ e α ∼ κ então α ∼ x, uma contradição para a minimalidade do κ, do dois porque ∼ é uma relação de equivalência. Logo porque κ se mesmo é bem-ordenado (pelo ∈) temos κ = κ. (ii) Se α < κ e i : κ ⟶ α uma injeção, então im(i) ⊆ α é isormorfico pelo um isomorfismo que preserva ordem para um ordinal único, vamos falar β, ≤ α. Então β < κ e β ∼ κ. (iii) β ≤ α implica β ⊆ α, logo β ⪯ α. Mas α ∼ α ⪯ β, então α ∼ β pela teorema de Schröder-Bernstein.

Nota. Se κ ∈ ω ∪ {ω } temos que ∀α < κ κ ≁ α, e logo κ é um cardinal.

Definição. Seja κ ∈ On um cardinal. Defina κ^{+} = {α ∈ On | α ⪯ κ}.

Corolário do Lema de Hartog. Então κ^{+} ∈ On, κ^{+} é um cardinal, κ < κ^{+}, e κ^{+} ⪯̸ κ. É não existe β ∈ On tal que β < κ^{+} e β tem estes propriedades.

Demonstração. É claro que κ ∈ κ^{+}. Aplice o lema de Hartog para x = κ para ver que κ^{+} é um ordinal e κ^{+} ⪯̸ κ. Se β < κ^{+} temos que β ⪯ κ, e logo κ^{+} ≁ β. Então β ≤ κ e κ^{+} é um cardinal. Conseqüentemente, não existe um ordinal com cardinalidade máximo porque α ≤ α < α^{+} para qualquer α ∈ On.

Definição. Seja κ ∈ On um cardinal. Então κ^{+} é o sucessor cardinal do κ. Falamos que κ é um cardinal do tipo sucessor se existe um cardinal μ tal que κ = μ^{+}, e que κ é do tipo limite senão.

Agora vamos enumerar os ordinais que são cardinais. Os primeiros ω são 0, 1, 2, …, os números naturais. Depois usamos os ordinais em se mesmo para enumerar os ordinais infinitos que são cardinais.

Definição. Pela recursão definamos ℵ : On ⟶ V (On) pelo ℵ_{α} = ω ∪ {γ ∈ On | ∃β < αγ ⪯ ℵ_{β} }. Também escrevemos ω_{α} em vez do ℵ_{α} para qualquer α ∈ On. (ℵ é “alef,” a primeira letra do alfabeto hebraico.)

Proposição. (i) ℵ_{0} = ω. (ii) ℵ_{α} ∈ On é um cardinal para cada α ∈ On (iii) Se κ ∈ On é um cardinal infinito então existe cada α ∈ On tal que κ = ℵ_{α}. (iv) ∀α, β ∈ On, α < β implica ℵ_{α} < ℵ_{β}.

(v) ℵ_{α} é um cardinal do tipo sucessor se α é um ordinal do tipo sucessor, e é um cardinal do tipo limite se α é um ordinal do tipo limite.

Demonstração. (i), (ii) quando α é um ordinal do tipo sucessor, (iv), e (v) são imediatos das definições, usando o lema de Hartog.

(ii) Se λ é um ordinal do tipo limite temos que ℵ_{λ} = ⋃{ℵ_{α}^{+} | α < λ} é um conjunto pelos axiomas de reposição e uniões, e enão e um ordinal. E é um cardinal porque se γ < ℵ_{λ} então existe α < λ tal que γ ∈ ℵ_{α}^{+} = ℵ_{s(α)}, e então γ < ℵ_{α}^{+} < ℵ_{λ}, e logo γ ≁ ℵ_{λ}.

(iii) Seja κ ∈ On um cardinal infinito. Então κ = {γ ∈ On | γ < κ} = {γ ∈ On | γ ⪯ κ & κ ⪯̸ γ } = ω ∪ {γ ∈ On | ∃μ < κ μ é um cardinal & γ ∼ μ}. Logo, se temos que para todos cardinais μ < κ são alefs, então κ é um alef. Então qualquer cardinal κ ∈ On é um alef pelo princípio de indução sobre os ordinais.

Nota. Sem o axioma de escolha pode ser que, por exemplo, 2^{ℵ_{0}} não é um ordinal.

4.3. Cardinais com o axioma de escolha.

Agora vamos assumir o axioma de escolha. Então cada conjunto pode ser bem-ordenado. Logo todos os cardinais são ordinais e a classe dos cardinais é bem-ordenado (como uma subclasse de On).

Proposição. Para todos conjuntos x, y, x ⪯ y se e só se x ≤ y.

Demonstração. x ⪯ y se e só se x ⪯ y. Fosse y < x teríamos que x ⊀ y. Então x ≤ y pela tricotomia.

Corolário. (AE) implica que para quaisquer x, y ou existe uma injeção i : x ⟶ y, ou existe uma injeção j : y ⟶ x.

Demonstração. Comparar x e y no On.

Teorema de produtos. (AC) Seja κ um cardinal. (Equivalentemente, seja κ um alef.) Então κ.κ = κ.

Demonstração. Primeiro nota que a teorema é verdadeira para ω: definando (k, l) ≺ (m, n) se ou k + l < m + n ou k + l < m + n e k < m, ou (k, l) ≺′ (m, n) se ou max{k, l} < max{m, n}, ou max{k, l} = max{m, n} e l < n, ou max{k, l} = max{m, n}, l = n e k < m é claro que ≺ e ≺′ são bem-ordems de ω × ω e exitems bijeções entre elas e (ω, ∈).

Agora usamos indução. Suponhamos que a teorema é verdadeira para todos cardinais infinito menos que κ. Defina uma ordem do κ × κ pelo (α, β) ≺ (γ, δ) se α ∪ β < γ ∪ δ, ou α ∪ β = γ ∪ δ e β < δ, ou α ∪ β = γ ∪ δ, β = δ e α < γ. Nota que {(α, β) | (α, β) ⪯ (γ, γ)} = (γ + 1) × (γ + 1) para qualquer γ < κ

Eu afirmo que esta ordem é uma bem-ordenando. É claro que ≺ é uma ordem parcial. E se (α, β) ⊀ (γ, δ) e (γ, δ) ⊀ (α, β) então α ∪ β = γ ∪ δ, β = δ e α = γ, logo (α, β) = (γ, δ), e temos que ≺ é uma ordem total. Para ver que ≺ é bem-fundada, seja Z ⊆ κ × κ com ∅ ≠ ∅. Seja ρ mínimo tal que existe (α, β) ∈ Z tal que α ∪ β = ρ. Primeiro seja Z_{1} = {(α, β) ∈ Z | α ∪ β = ρ}. Seja β_{0} mínimo tal que existe α com (α, β_{0}) ∈ Z_{1}. Agora seja Z_{2} = {(α, β ∈ Z_{1} | β = β_{0} }. Seja α_{0} mínimo tal que (α_{0}, β_{0}) ∈ Z_{2}. Logo (α_{0}, β_{0}) é ≺-mínimo no Z.

Então existe um único ρ ∈ On tal que (κ × κ, ≺) é isomorfico para (ρ, ∈) pelo uma bijeção que preserva ordem. Seja f : (ρ, ∈) ⟶ (κ × κ, ≺) o isomorfismo. Suponhamos que κ < ρ e que f(κ) = (α, β). Seja γ = α∪β. Então (α, β) ⪯ (γ, γ) e temos uma injeção f|κ : κ ⟶ (γ+1)×(γ+1). Porque κ é infinito temos que γ × γ é infinito, logo γ é infinito. Mas γ < κ, então γ + 1 < κ e γ + 1 < κ. Então, pela hipótese da indução, s(γ).s(γ) = s(γ). Então κ ≺ s(γ) × s(γ) ∼ s(γ) ≺ κ. Uma contradição. Logo ρ = κ.

Então, pelo indução nos ordinais temos mostrado que κ.κ = κ para todos cardinais κ.

Corolário. Seja κ um cardinal infinito e sejam x_{α} conjuntos tal que x_{α} ≤ κ para todos α < κ.

Então ⋃{x_{α} | α < κ} ≤ κ.

Demonstração. Vamos aplicar o axioma de escolha para Y = {y_{α} | α < κ}, onde para cada α < κ pegamos y_{α} = {f | f : x_{α} ⟶ κ é uma injeção}. Logo existe uma função g : Y ⟶ ⋃ Y tal que g_{α} : x_{α} ⟶ κ é uma injeção para todos α < κ. Defina h : ⋃{x_{α} | α < κ} ⟶ κ × κ pelo

h(z) = (α, g_{α}(z)) onde α é mínimo tal que z ∈ x_{α}. Logo ⋃{x_{α} | α < κ} ≤ κ pelo teorema.

Corolário. (i) Sejam κ, μ cardinais e ao menos um infinito. Então κ + μ = max{κ, μ}. (ii) Sejam κ, μ cardinais e ao menos um infinito (i.e., um aleph) e nenhum dos dois 0. Então κ.μ = max{κ, μ}. (iii) Sejam κ, μ cardinais 2 ≤ κ ≤ 2^{μ} e μ um aleph. Então κ^{μ} = 2^{μ}.

Demonstração. (i) Se κ ≤ μ, então μ ≤ κ + μ ≤ μ + μ = 2.μ ≤ μ.μ = μ. (ii) Se 0 < κ < μ, então μ ≤ κ.μ ≤ μ.μ = μ. (iii) 2^{μ} ≤ κ^{μ} ≤ (2^{μ})^{μ} = 2^{μ.μ} = 2^{μ}.

Corolário. ℵ_{α} + ℵ_{β} = ℵ_{α∪β} = ℵ_{α}.ℵ_{β}

Demonstração. ℵ_{α∪β} = ℵ_{max({ α∪β })} = max({ℵ_{α}, ℵ_{β} }).

Então temos fixado + e . nos cardinais. Mas exponciação fica um mistério, e na verdade é aqui onde o assunto começe viver. Cantor soube, como nós, que ℵ_{1} ≤ 2^{ℵ_{0}} e, mais geralmente que ℵ_{α+1} ≤ 2^{ℵ_{α}} para cada α ∈ On, mas não pode mostrar qualquer cardinal entre eles (pares). Então ele conjeturou que o hipótese do continuo (HC), que ℵ_{1} = 2^{ℵ_{0}} foi verdadeiro, e mesmo que o hipótese do continuo geral (HCG) , que ℵ_{α+1} = 2^{ℵ_{α}} foi verdadeiro. Isso é talvez a regra o mais simples posível. Mas como veremos na §6 não tem razão supor que é verdadeiro, porque não é possível mostrar HC dos axiomas do ZF + AE (Cohen, 1963), nem mostrar que é falso (Gödel, 1938). 4.4. Cofinalidade. Agora vamos ver um sentido em qual o HCG é muito simples: ele determina todos os outras regras da exponenciação. Para fazer isso precisamos de um conceito que é muito útil apesar disso também Definição. Sejam α, β ∈ On e f : α ⟶ β uma função. f é cofinal (ou leva α cofinalmente para/no β) se ∀γ < β ∃δ < α (γ ≤ f(δ)). Definição. Seja β ∈ On. A cofinalidade de β, cf (β), (é o mínimo α tal que do qual existe uma função cofinal para β. Logo, cf (β) ≤ β e é um cardinal para qualquer β. E se β é um ordinal do tipo sucessor, então cf (β) = 1 (usando a fun=ção f(0) = ⋃ β). Proposição. Existe uma função cofinal f : cf (β) ⟶ β que é cresente estritamente (σ < τ < cf (β) ⟶ f(σ) < f(τ)), para qualquer β ∈ On. Demonstração. Seja g : cf (β) ⟶ β qualquer função cofinal, e defina f pelo recursão pelo f(τ) = max({g(τ), sup{f(σ) | σ < τ }}) para τ < cf (β). Proposição. Se α ∈ On é do tipo limite e f : α ⟶ β é cofinal e cresente estritamente, então cf (α) = cf (β). Demonstração. Seja g : cf (α) ⟶ α qualquer função cofinal. Então f · g : cf (α) ⟶ β é cofinal. Logo cf (β) ≤ cf (α). E se h : cf (β) ⟶ β é cofinal, então k : cf (β) ⟶ α é cofinal, onde k(τ) = o mínimo σ tal que h(τ) < f(σ). Corolário. cf (cf (β)) = cf (β) para qualquer β ∈ On. Demonstração. Imediato pelas duas proposições prévias. Corolário. Seja α um ordinal do tipo limite. Logo cf (ℵ_{α}) = cf (α). Demonstração. Imediato pela última proposição usando a função ℵ. Definição. Seja β ∈ On é um cardinal infinito. Se cf (β) = β falamos que β é regular. Se cf (β) < β falamos que β é singular. Exemplos. ω é regular. ℵ_{ω} é singular (veja o corolário segundo para ver que cf (ℵ_{ω}) = ω). Até agora não tivemos usado o axioma de escolha nesta seção.

Proposição. (AE) implica κ^{+} é regular para qualquer cardinal κ. Demonstração. Fosse f : α ⟶ κ^{+} cofinal onde α < κ^{+}, então κ^{+} = ⋃{f(γ) | γ < α}. Mas f(γ), α < κ, então f(γ), α < κ^{+} e teríamos que κ^{+} seria a união de κ conjuntos cada um com cardinalidade ≤ κ. Uma contradição pelo primeiro Corolário do teorema dos productos na §4.3. (Nota. Sem (AE) é possível que cf (ω_{1}) = ω.) Um pergunta natural agora é se existem cardinais do tipos limites e regulares também. Se ℵ_{α} é um tal cardinal, então ℵ_{α} = α. Mas isso não é bastante. Por exemplo, se α = ⋃{ℵ_{0}, ℵ_{ω}, ℵ_{ω_{ω}}, …} temos que ℵ_{α} = α mas cf (α) = ω. Então o primeiro cardinal do tipo limite que é regular é mais grande. Definição. κ é inacessível fracamente se é do tipo limite e regular. Definição. (AC) κ é inacessível fortemente se é regular ∀μ < κ 2^{μ} < κ. Proposição. Se κ é inacessível fortemente, é inacessível fracamente. E (HCG) implica que se κ é inacessível fracamente, é inacessível fortemente. Agora vamos usar a noção de cofinalidade ajudar mostrar como (HCG) simplifica a exponenciação dos cardinais. Propsição. Seja κ um cardinal infinito e cf (κ) ≤ μ. Então κ^{μ} ⪯̸^{∗} κ. Demonstração. A demonstração é uma variante do demonstração do Cantor que P(x) ⪯̸^{x} que vimos na §1.1. Seja f : μ ⟶ κ qualquer função cofinal e g : κ ⟶ ^{μ}κ qualquer função. Vamos mostrar que g não pode ser uma sobrejeção. Defina h : μ ⟶ κ pelo h(α) = o membro mínimio de κ \ {(g(β))(α) | β < f(α)}. Se γ < kappa pode escolhar α < μ tal que γ < f(α) porque f é cofinal. Assim tem h(α) ≠ g(γ)(α). Então h ∉ im(g). Corolário. (AE) Seja κ um cardinal infinito e cf (κ) ≤ μ. Então κ < κ^{μ}. Demonstrção. É claro que κ ⪯ κ^{μ}, então pelo proposição e tricotomia κ < κ^{μ}. Corolário. (AE) Seja κ um cardinal infinito, então κ < cf (2^{κ}). Demonstrção. Se cf (2^{κ}) ≤ κ temos que 2^{κ} < (2^{κ})^{κ} = 2^{κ.κ} = 2^{κ}, uma contradição. Proposição. (AE + HCG) Sejam κ, μ cardinais, 2 ≤ κ, μ é ao menos um do κ, μ infinito. Então,

(i) κ ≤ μ ⟶ κ^{μ} = μ^{+}, (ii) cf (κ) ≤ μ < κ ⟶ κ^{μ} = κ^{+}, e (iii) μ < cf (κ) ⟶ κ^{μ} = κ, Demonstrção. (i) Já vimos (sem (HCG)) que κ^{μ} = 2^{μ}. (HCG) fala que 2^{μ} = μ^{+}. (ii) O primeiro corolário em cima fala que κ < κ^{μ}. Mas κ^{μ} ≤ κ^{κ} = 2^{κ}, = κ^{+} pelo (HCG). (iii) μ < cf (κ) fala que qualquer função f : μ ⟶ κ não é cofinal, então ^{μ}κ = ⋃{^{μ}α | α < κ}, e μα ≤ max({α, μ})^{+} ≤ κ. Sem o (HCG) exponenciação pode ser muito mais complicada. Tem muitos coisas que são independente do ZF + AE – não podem ser mostrados nem podem ser mostrados os contrários. (Veja §6 para ganhar um pouco mais explicação disso.) Embora existe algumas resultados que podem ser mostrados do ZF + AE, e várias perguntas abertas importantes. Por exemplo temos os seguintes.

Teorema. (Silver, 1975) Se 2^{ℵ_{α}} = ℵ_{α+1} para todos α < ω_{1}, então 2^{ℵ_{ω_{1}}} = ℵ_{ω_{1}+1}

E tem o mesmo resultado para outros cardinais κ com ω < cf (κ) < κ. No contraste, a situação é muito diferente para cardinais κ singular com ω = cf (κ).

Teorema. (Gitik-Magidor, 1989) Para qualquer δ < ω_{1} e possível que 2^{ℵ_{n}} = ℵ_{n+1} para todos n < ω, mas 2^{ℵ_{ω}} = ℵ_{δ+1}.

Ainda tem algumas limitações quando cf (κ) = ω.

Teorema. (Shelah, 1989) Se 2^{α_{n}} < ℵ_{ω} para cada n < ω, então 2^{ℵ_{ω}} < min({ℵ_{ω_{4}}, ℵ_{(2^{ω})^{+}} }).

Uma das perguntas mais destacadas neste parte do teoria dos conjuntos é se o “4” na teorema de Shelah em cima pode ser melhorizado, (Talvez para “1,” mas em qualquer modo seria muito importante.)